覚えなくていい「円の接線の方程式」 - 東大生の高校数学ブログ

円 $\left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}=r^{2}$
上の点 $\left( x_{1},y_{1}\right)$ における接線の式は、

$\left( x_{1}-a\right) \left( x-a\right)+\left( y_{1}-a\right) \left( y-a\right)=r^{2}$

っていうキレイな式になる、っていうのはめちゃくちゃ覚えやすい。

けど、キレイだからこそ、当たり前に見えないともったいない！！

ということで一瞬で示します。

上図のように、接線 $l$ 上の点はすべて

$\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AX}=AB×$ ( $\overrightarrow {AX}の\overrightarrow {AB}$ 方向への貢献度)
$=r^{2}$

を満たす。ということで、接線上の点 $\left( x,y\right)$ はすべて

$\left( x_{1}-a\right) \left( x-a\right)+\left( y_{1}-a\right) \left( y-a\right)=r^{2}$

を満たす。で終わり！以上！めちゃ簡単！