覚えた方がいい「同値変形」 - 東大生の高校数学ブログ

これは覚えたほうがいい。暗記ではないけど。
まず覚えなくていい「必要・十分条件」 - 算数は得意なのに数学が苦手なひとのためのブログの最後に書いたやつを例にとります。

まず最初にいっておくと、方程式とか不等式を「二乗」するときはめちゃめちゃ気を付けないといけない！

じゃあまず、教科書通りに解きます。

$\sqrt {x^{2}-4}=x+1$ ・・・①
両辺を二乗すると、
$x^{2}-4=x^{2}+2x+1$ となるので、これを解くと、 $x=-\dfrac {5}{2}$ となる。
これを①に代入すると成り立たないので、求める解は、
ナシ。

という感じ。

ということで次は、同値変形で解く解き方！

$\sqrt {x^{2}-4}=x+1$
$\Leftrightarrow x^{2}-4=x^{2}+2x+1$ かつ $x+1\geq 0$
$\Leftrightarrow x=-\dfrac {5}{2}$ かつ $x\geq -1$
$\Leftrightarrow$ 解なし

といった感じ。

どういうことかというと、二乗するってことは
$2=-2$
といった間違った式も二乗して
$4=4$
となって合っている式になってしまう。つまりちょっとアヤシイことをしてるわけ。

つまり、二乗する前から符号が分かってるときは、その条件を書かないと同値じゃなくなるんだ。

$\sqrt {x^{2}-4}$ は $0$ 以上だから、二乗しても同値にするためには、 $x+1$ も $0$ 以上だっていう条件が必要。

よって、 $\sqrt {x^{2}-4}=x+1$
$\Leftrightarrow x^{2}-4=x^{2}+2x+1$ かつ $x+1\geq 0$
という変形になる！

この同値変形ができるかどうか、っていうのが「高校数学を勉強したぞ！」って自信持って言えることの必要条件だと思うんだけど、
国立以外の大学の数学の問題って大抵マーク式だったりするからあんまし意味ないなあ、と思ってしまう。

個人的には高校数学って、感覚で思った「なんとなく」を論理で正しく伝える選手権だと思ってるから。

っていってるひとがいた。ってことにしとこう笑