東大生の高校数学ブログ

高校数学の公式を覚えずに得意になるためのブログです

覚えなくていい「正弦定理」

ひさしぶりにベクトルと関係ないけど、これも頑張って覚える必要ないやつ。

そもそも正弦定理ってのは、三角形 $ABC$ 外接円の半径が $R$ のとき、

$2R=\dfrac {a}{\sin A}=\dfrac {b}{\sin B}=\dfrac {c}{\sin C}$
（ $a=BC,b=CA,c=AB$ ）

が成り立つというもの。

この式も、あたりまえ。

線分 $BA'$ が直径となるように、点 $A'$ をとると、円周角の定理より、角 $A=$ 角 $A'$ 。よって、

$2R\sin A=BC$

$\therefore 2R=\dfrac {a}{\sin A}$

同様にして、

$2R=\dfrac {b}{\sin B}$
$2R=\dfrac {c}{\sin C}$

も導ける。

というだけ。。

だから $2R\sin A=BC$ の形で覚えてる方が覚えやすそう。

大事なのは、外接円なんか考えなくたって

$\dfrac {a}{\sin A}=\dfrac {b}{\sin B}=\dfrac {c}{\sin C}$

が成り立つということ。これは覚えたほうがいいというか、この形に近いものを見たときはビクッ！っと反応できたほうがいい。

ちなみに円周角の定理ってあたりまえのように使ったけど証明できる？？かな？

円に内接する三角形 $ABC$ の、辺 $AB$ を固定することにすると、三角形 $ABC$ の形は次の２通りが考えられる。

どちらの場合も

$\angle BAC=\dfrac {1}{2}×\angle BOC$

となるから、点 $A$ がどこにいようが、これは常に成り立つ。

よって $\angle BAC$ は一定。

というだけ。意外としらないひと多そう。