覚えなくていい「円の面積」 - 東大生の高校数学ブログ

「覚えなくていい」とか言われながらも、

小学生で習ったわ！とっくに知ってるわ！

となると思う。
ただ、高校数学はすこしワケがちがう。

なぜなら、ラジアン(rad)という角度の単位が登場するからだ！

ラジアンってものが導入されてめちゃめちゃ考えるのが楽になるのに、それに気づかないと $\pi =180^{o}$ を使って毎回変換しなおしたりしがち。。

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ということでラジアンを使うとどんだけ楽か、ということを書いていこう！

なにか新しい言葉や記号を覚えたら、「それを一言で特徴づけて説明する」という習慣をつけると、キャッチーなフレーズとか考える力にも繋がるから良いぞ。

「一言で」とかいいながら今回は図を書いちゃうけど

そもそもラジアンの定義は
「半径 $1$ の円弧の長さが $\theta$ となるときの中心角を $\theta$ [rad]とする」

ってことなんだね。つまり

「円弧の長さ $=$ 半径 $r×\theta$ 」

なんだね。めちゃ簡単。たとえば、

このときの円弧の長さは、
$4\times \dfrac {\pi }{3}=\dfrac {4}{3}\pi$
て感じで瞬殺できる。

40度くらいの熱があっても、 $8\pi × \dfrac {60°}{360°}$ なんて愚行はしないように。

で、ここからが本題。

この扇形の面積は、どうやって求めるか。

さっきもいったように、これを $r^{2}\pi \times \dfrac {\theta }{2\pi }$ で求めるのはラジアンの有り難みがないねえ。

実は、この扇形の面積は、

弧の長さ $×$ 高さ $÷2$
$=r\theta × r×\dfrac {1}{2}$

で出せちゃうんだ。三角形みたいだね。

なぜ？と思うかもしれないけど、この扇形をもっと細い扇形になるように100等分くらいに切ったらその細い扇形は全部ほぼ三角形だよね？

それらを足し合わせてるから結局三角形と同じように面積計算できちゃうんだね。

厳密な話ではないけど、感覚でわかるのがまず大事だから、いいよね？

実をいうとこの考え方は球になっても使えて、

球の体積 $=$ 球の表面積 $×$ 半径 $÷3=4\pi r^{2}×r×\dfrac {1}{3}$
$=\dfrac {4}{3}\pi r^{3}$

で求めっちゃうんだ！それは三角錐の時と同じで、
体積 $=$ 底面積 $×$ 高さ $÷3$ のカタチだね。