覚えなくていい「確率」 - 東大生の高校数学ブログ

突然ですが、確率は得意ですか？

実は、確率はめちゃくちゃ簡単です。よく確率の問題で答えに自信が持てないことがあると思いますが、一つのことを意識するだけで、「確率」はとても簡単になります。

まず、こんな問題があったら間違えずに求められますか？

「・赤玉、白玉がそれぞれ2個ずつある。この4個の玉を適当に円に並べたとき、白玉が向かい合う確率は？」

もしかして

$\dfrac {1}{2}$

となりましたか？

$R$ $R$

$R$ $W$ $W$ $W$

$W$ $R$

$\dfrac {1}{2}$ だとおもったひとは、この2通りを考えたんだと思います。

ところが答えは

$\dfrac {1}{3}$

となります。

合っている方は問題ないとは思いますが、ちょー大事な大前提として、

「確率はすべて区別する」

というのがあります。

この問題だと、赤玉、白玉の4つはすべて区別します。

つまり

$R_{1}$ $R_{1}$

$R_{2}$ $W_{1}$ $R_{2}$ $W_{2}$

$W_{2}$ $W_{1}$

$R_{1}$ $R_{1}$

$W_{1}$ $R_{2}$ $W_{2}$ $R_{2}$

$W_{2}$ $W_{1}$

$R_{1}$ $R_{1}$

$W_{1}$ $W_{2}$ $W_{2}$ $W_{1}$

$R_{2}$ $R_{2}$

の6通りが考えられて、このうち白玉が向かい合うのは2通りです。

よって求める確率は

$\dfrac {2}{6}=\dfrac {1}{3}$

です。

なぜ「すべて区別」する必要があるかというと、例えば一番最初に書いた2通りの円の並びは、それぞれの起こる確率が「1:1」にはなっていないからです。

サイコロでも、1の目が他の目より出やすかったら、目の出る確率は $\dfrac {1}{6}$ とはなりませんよね？

すべて区別すれば、自信をもってすべての要素の起こりやすさが同じだと言い切れます。分解しなくても答えがたまたま合うこともありますが、不安が残るので正しい解答とはいえませんね。

まとめると、確率は「すべて区別して、名前をつける」と意識しておけばいいですね