覚えなくていい「約数の個数・総和」 - 東大生の高校数学ブログ

例えば $480$ の約数の個数はなんだろう？

$480=1×480$
　　 $=2×240$
　　 $=3×160$
　　 $=4×120$
　　 $=5×96$
　　 $=6×80$
　　 $=8×60$
　　 $=10×48$
　　 $=12×40$
　　 $=15×32$
　　 $=16×30$
　　 $=20×24$
ということで、約数は24個だね。

ただこんなの毎回やるのは面倒だし数え間違いをしそう。。

なのでおそらく学校で素因数分解で数える方法を習うんだね。
$480$ を素因数分解すると、

$480=2^{5}×3^{1}×5^{1}$

だから、実は約数の個数は
$\left( 5+1\right) ×\left( 1+1\right) ×\left( 1+1\right)=24個$
みたいな感じで求まってしまう。

そんなの覚えてるよ！って人もいるかもだけど、じゃあ約数全部の和はわかるかな？？

っていうと大変だなぁと思うか、やったけど忘れた！って人が割といると思う。

そんなとき、約数の個数がなんで $\left( 5+1\right) ×\left( 1+1\right) ×\left( 1+1\right)$ でいいのか、ちゃんと考えてみよう！

たとえば上の例だと、

$480=2^{5}×3^{1}×5^{1}$

のように、
$2^{0}~2^{5}$ の６つからどれか１つ、
$3^{0}~3^{1}$ の２つからどれか１つ、
$5^{0}~5^{1}$ の２つからどれか１つ

選んで掛けることによって約数が１つできる。したがって、３つの選び方は
$6×2×2=24$ 通り
あるから、約数の個数は $24$ 個

となる。

こんな感じ！！つまり
べき指数（ $a^{x}$ の $x$ の部分）＋１
同士を掛ければいいんだね！

じゃあこの考え方で約数の総和を考えたらどうなるだろう？
普通に書き出してみると、

$2^{0}\cdot3^{0}\cdot5^{0}+2^{0}\cdot3^{0}\cdot5^{1}+2^{0}\cdot3^{1}\cdot5^{0}+2^{0}\cdot3^{1}\cdot5^{1}+$
$2^{1}\cdot3^{0}\cdot5^{0}+2^{1}\cdot3^{0}\cdot5^{1}+2^{1}\cdot3^{1}\cdot5^{0}+2^{1}\cdot3^{1}\cdot5^{1}+$
$2^{2}\cdot3^{0}\cdot5^{0}+2^{2}\cdot3^{0}\cdot5^{1}+2^{2}\cdot3^{1}\cdot5^{0}+2^{2}\cdot3^{1}\cdot5^{1}+$
$2^{3}\cdot3^{0}\cdot5^{0}+2^{3}\cdot3^{0}\cdot5^{1}+2^{3}\cdot3^{1}\cdot5^{0}+2^{3}\cdot3^{1}\cdot5^{1}+$
$2^{4}\cdot3^{0}\cdot5^{0}+2^{4}\cdot3^{0}\cdot5^{1}+2^{4}\cdot3^{1}\cdot5^{0}+2^{4}\cdot3^{1}\cdot5^{1}+$
$2^{5}\cdot3^{0}\cdot5^{0}+2^{5}\cdot3^{0}\cdot5^{1}+2^{5}\cdot3^{1}\cdot5^{0}+2^{5}\cdot3^{1}\cdot5^{1}$
$=\left(\sum ^{5}_{k=0}2^{k} \right)\left(3^{0}\cdot5^{0} +3^{0}\cdot5^{1}+3^{1}\cdot5^{0}+3^{1}\cdot5^{1}\right)$
$=\left(\sum ^{5}_{k=0}2^{k} \right)\left(3^{0}\cdot\left(5^{0} +5^{1}\right) +3^{1}\ \cdot\left(5^{0} +5^{1}\right)\right)$
$=\left( \sum ^{5}_{k=0}2^{k}\right)\cdot\left( \sum ^{1}_{k=0}3^{k}\right)\cdot\left( \sum ^{1}_{k=0}5^{k}\right)$

となる。

つまり、
$2$ の要素の和, $3$ の要素の和, $5$ の要素の和
を掛けてあげるだけでいいんだ！

つまりこの場合だと
$63+4+6=73$
となるんだね。

ほかの例でもやってみよう。

「 $360$ の約数の個数と、その総和は？」

まず素因数分解すれば、
$360=2^{3}\cdot3^{2}\cdot5^{1}$
だから、約数の個数は
$4\cdot3\cdot2=24$ 個。
約数の総和は、
$\left(1+2+4+8\right)\left( 1+3\right)\left( 1+5\right)$
$=15\cdot4\cdot6=360$
となる。

知ってれば簡単だけど、いつ忘れてもいいように納得感もってたほうが安心だね。