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東大生の高校数学ブログ

高校数学の公式を覚えずに得意になるためのブログです

覚えなくていい「Σ k^2 の公式」

タイトルちょっとみにくいなあ。

シグマを習うと、まず習うであろう

\sum ^{n}_{k=1}k^{2}=\dfrac {1}{6}n\left( n+1\right) \left( 2n+1\right) ・・・①

って公式。もちろん覚えてたほうが便利なときも多いんだろうけど、こんな覚えにくくて汚いもの覚えるのってなんだかなあ、って気分になる。

なんでかっていうと、もっとキレイで美しいのがあるからだ。

次の式たちは知ってるかな?

\sum ^{n}_{k=1}k=\dfrac {1}{2}n\left( n+1\right)
\sum ^{n}_{k=1}k\left( k+1\right) =\dfrac {1}{3}n\left( n+1\right) \left( n+2\right)
\sum ^{n}_{k=1}k\left( k+1\right)\left( k+2\right)  =\dfrac {1}{4}n\left( n+1\right) \left( n+2\right)\left( n+3\right)
\sum ^{n}_{k=1}k\left( k+1\right)\left( k+2\right) \left( k+3\right) =\dfrac {1}{5}n\left( n+1\right) \left( n+2\right)\left( n+3\right)\left( n+4\right)

めちゃくちゃキレイじゃない?もちろんこの規則で永遠と公式つくれるよ。


たとえば、①の公式示したかったら、

\sum ^{n}_{k=1}k^{2}=\sum ^{n}_{k=1}k\left( k+1\right) -\sum ^{n}_{k=1}k
    =\dfrac {1}{3}n\left( n+1\right) \left( n+2\right)-\dfrac {1}{2}n\left( n+1\right)
    =\dfrac {1}{6}n\left( n+1\right)\left( 2\left( n+2\right) -3\right)
    =\dfrac {1}{6}n\left( n+1\right)\left( 2n+1\right)

でいい。一瞬だね。同じように\sum ^{n}_{k=1}k^{3}も示せる。




じゃあ、なんでこんなキレイな式が成り立つんだろう??


実をいうとこの証明も簡単。


たとえば、

\sum ^{n}_{k=1}k\left( k+1\right)
で考えてみよう。

まず、
k\left( k+1\right)\left( k+2\right)-\left( k-1\right) k\left( k+1\right)=3k\left( k+1\right)
\Leftrightarrow k\left( k+1\right)=\dfrac {1}{3}\left\{ k\left( k+1\right)\left( k+2\right)-\left( k-1\right) k\left( k+1\right)\right\}

ってのは大丈夫だよね?

じゃあここで、

F\left( k\right)= \left( k-1\right) k\left( k+1\right)

と置けば、

\sum ^{n}_{k=1}k\left( k+1\right)=\sum ^{n}_{k=1}\left\{ F\left( k+1\right) -F\left( k\right) \right\}
= \left\{ F\left( 2\right) -F\left( 1\right) \right\}+\left\{ F\left( 3\right) -F\left( 2\right) \right\}+\ldots +\left\{ F\left( n+1\right) -F\left( n\right) \right\}
=\left\{ F\left( n+1\right) -F\left( 1\right) \right\}
=\dfrac {1}{3}n\left( n+1\right) \left( n+2\right)

となる!!

こんな感じで簡単に示せるし、結果もキレイだから絶対に知ってた方がいいね。


おまけで\sum ^{n}_{k=1}k^{3}のときも証明しときます。
k^{3}=\left( k-1\right)k\left( k+1\right)+kだから、

\sum ^{n}_{k=1}\left( k-1\right)k\left( k+1\right)  =\dfrac {1}{4}\left( n-1\right) n\left( n+1\right)\left( n+2\right)

より
\sum ^{n}_{k=1}k^{3}
=\dfrac {1}{4}\left( n-1\right) n\left( n+1\right)\left( n+2\right)+\dfrac {1}{2}n\left( n+1\right)
=\dfrac {1}{4}n\left( n+1\right)\left\{\left( n-1\right)\left( n+2\right)+2 \right\}
=\left\{ \dfrac {1}{2}n\left( n+1\right) \right\} ^{2}

簡単だね!