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東大生の高校数学ブログ

高校数学の公式を覚えずに得意になるためのブログです

覚えなくていい「微分・微小量」

微分ってなに?」

って聞かれたらなんて答えますか?

高校生にきくと、

「エフダッシュ?」

みたいに言われて コミュニケーション!!!
ってなることがある。


ビブンを習う直前くらいのひとに、「それなに?」って聞かれて、なんて言ったら「すごいそんなことできるのか!」って思ってもらえるか考えたほうがいい。

そこまでできなくても、少なくとも一言で何なのか説明できないとダメ。


すごく簡単にいえば、「近くでみること」。
グラフとかでいえば、「傾きを求めること」だね。どんな曲線でも傾きがわかっちゃう。

なにがすごいかっていうと、どんなわかりにくい曲線も近くで見れば直線にみえる

直線を考えるのは簡単だから、小さい部分をよく調べることで全体像がわかる

ビブンしてグラフの形知るのはもちろん、たとえば隕石の軌道とか調べるのも同じこと。


ということで、関数f(x)で考えてみよう!

たぶんつまづく人少ないから省略してかくけど、

y=f\left( x\right) xでの傾きが知りたかったら上図みたいに\Delta xだけ離れたとこ結んで、傾きを計算してやればいい。

だからこのときの傾きは
\dfrac {f\left( x+\Delta x \right) -f\left( x\right) }{\Delta x}

だね。でもこれで終わりじゃなくて、最後に\Delta x\rightarrow 0としてあげなきゃいけない。

てことでx座標がxのときの傾きは

\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {f\left( x+ \Delta x \right) -f\left( x\right) }{\Delta x}

となるんだね。


ちなみここからめちゃくちゃ大事なことだけど

\Delta xdx

の違いってわかる??かな?

微分の記号ってたぶん

\dfrac {d}{dx}f\left( x\right)

みたいに習ってるよね?


じつは、dx\Delta x
\Delta x \rightarrow 0
としたものなんだね。

つまり、

\dfrac {df\left( x\right)}{dx}= \lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {f\left( x+ \Delta x \right) -f\left( x\right) }{\Delta x}


てことは
f\left( x\right)の微小量は
f\left( x+ dx \right) -f\left( x\right)=\left( \dfrac {d}{dx}f\left( x\right)\right) dx・・・①

となることがわかる。


じゃあ、

d\left( f\left( x,y\right)\right)

はどうなるだろう?

これも、①を使えば
d\left( f\left( x,y\right)\right)
=f\left( x+dx,y+dy\right)-f\left( x,y\right)
=f\left( x+dx,y+dy\right)-f\left( x,y+dy\right)+f\left( x,y+dy\right)-f\left( x,y\right)
=\left(\dfrac {d}{dx}f\left( x,y+dy\right) \right) dx+\left(\dfrac {d}{dy}f\left( x,y\right) \right) dy
=\left( \dfrac {d}{dx}f\left( x,y\right)\right) dx+\left( \dfrac {d}{dy}f\left( x,y\right)\right) dy


となる。つまり、\left( x,y\right) の関数の微小量を求めたかったら、
x微分したらdxをかけて、y微分したらdyをかけて、足してあげればいいんだね


ということで。

問題 x^{2}+xy+y^{2}=1のとき、\dfrac {dy}{dx}を求めよ。

d\left( x^{2}+xy+y^{2}-1\right)=0
\Leftrightarrow 2xdx+\left( ydx+xdy\right) +2ydy=0
\Leftrightarrow \left( 2x+y\right)dx=-\left( x+2y\right)  dy
\therefore \dfrac {dy}{dx}=-\dfrac{2x+y}{x+2y}
となる。

だからたとえば\left( \dfrac {1}{\sqrt {3}},\dfrac {1}{\sqrt {3}}\right) における接線の傾きは?と聞かれたら
-\dfrac {\sqrt {3}}{\sqrt {3}}=-1
となる。


みたいな!べんりだから使えそうだね!