【面白数学】(1/2)！ってどうなるか知ってる？

！って記号は数学だと階乗って意味だけど。

たとえば $5!$ だったら

$5!=5×4×3×2×1=120$

だね。じゃあ $0!$ はどうだろう？

$0!=0×...?=0???$

ってなるかな？実は

$4!=5!÷5$
$3!=4!÷4$
$2!=3!÷3$
$1!=2!÷2$
$0!=1!÷1=1$ ・・・①

ってな感じの規則性で $0!$ は $1$ になるんだね。

じゃあ、 $\left( \dfrac {1}{2}\right)!$ はどうなるんだろう？

実をいうとこれ、 $\dfrac {\sqrt {\pi }}{2}$ ってなるらしい。なぜだ。。。

ということでこれの話。

まず、

$a_{m,n}=\int ^{1}_{0}x^{m}\left( 1-x\right) ^{n}dx$ ・・・＊

なんていう、不自然極まりない数列があったとする。

で、こういう式を見たとき、ある程度セキブンを勉強したひとなら部分積分するはず。ということでやってみよう！

$a_{m,n}=\int ^{1}_{0}\left( \dfrac {1}{m+1}x^{m+1}\right)' \left( 1-x\right) ^{n}dx$
$=\dfrac {1}{m+1}$ [ $x^{m+1}\left( 1-x\right) ^{n}$ ] $^{1}_{0}$
$-\dfrac {-n}{m+1}\int ^{1}_{0}x^{m+1}\left( 1-x\right) ^{n-1}dx$
$=\dfrac {n}{m+1}a_{m+1,n-1}$

となるから、

$a_{m,n}=\dfrac {n}{m+1}a_{m+1,n-1}$
$=\dfrac {n}{m+1}\cdot\dfrac {n-1}{m+2}a_{m+2,n-2}$
$=\dfrac {n}{m+1}\cdot\dfrac {n-1}{m+2}\ldots \dfrac {1}{m+n}a_{m+n,0}$
$=\dfrac {m!n !}{\left( m+n\right) !}\int ^{1}_{0}x^{m+n}dx$
$=\dfrac {1}{m+n+1}\cdot\dfrac {m!n!}{\left( m+n\right) !}$

となる！ここで、なにを思ったか $m=n=\dfrac {1}{2}$ を代入してみると、

$a_{\dfrac {1}{2},\dfrac {1}{2}}=\dfrac {1}{2}\dfrac {\left( \dfrac {1}{2}\right) !\left( \dfrac {1}{2}\right) !}{1!}=\dfrac {1}{2}\left\{ \left( \dfrac {1}{2}\right) !\right\} ^{2}$ ・・・②