東大生の高校数学ブログ

高校数学の公式を覚えずに得意になるためのブログです

【面白数学】球の表面積=円の面積×4の理由

覚えなくていい「円の面積」 - 算数は得意なのに数学が苦手なひとのためのブログで、
円の面積=円周×半径×\dfrac {1}{2}

覚えなくていい「球の表面積・体積」 - 算数は得意なのに数学が苦手なひとのためのブログで、
球の表面積=円周×極間の距離×\dfrac {2}{\pi }


ってことをやった。どちらも

底辺×高さ×定数

の形だね。これを用いて、「球の表面積=円の面積×4」の説明をしてみよう。

まず、考えやすいように次のようなプラネタリウム型の図形を考えてみよう。

いま示せばいいのは、「半球の表面積=円の面積×2」です。

さっきも書いたように、円周を底辺としたとき、「円は三角形、球の表面はsin形」と考えられるから、こんな図になる。

こうやって比較してみると、

円の面積:球の表面積
=1×\dfrac {1}{2}:\dfrac {\pi }{2}\times \dfrac {2}{\pi }
=\dfrac {1}{2}:1

とわかるから、球の表面積は円の面積の2倍になるんだね。

こんな感じで目で大きさを比べられると分かりやすいね。