東大生の高校数学ブログ

高校数学の公式を覚えずに得意になるためのブログです

覚えなくていい「三角形の面積」

小学5,6年生に算数、高1,3年に数学おしえてて思うけど。

できるひとかできないひとかって「三角形の面積ってどうやって求めるんだっけ?」って聞いてみるとだいたい分かるような気がする。

で、これが意外と答えが返ってこない。なぜだろう。


もちろん「底辺×高さ÷2ってだけだね。

たぶんこれ以外の方法で三角形の面積求めることってないよね。

いや他にもあるぞ!ad-bcとか!って言ってるひとは、たぶんad-bcが当たり前に見えてないひと。


ということで、高校数学でよく使う「ベクトルを用いた三角形の面積」について。

上の三角形において、
\overrightarrow {OA}=   \left(     \begin{array}{c}       a  \\       b      \end{array}   \right)
\overrightarrow {OB}=   \left(     \begin{array}{c}       c  \\       d      \end{array}   \right)
とおく。すると、\overrightarrow {OA}に垂直な単位ベクトル\overrightarrow {e}

\overrightarrow {e}=  \dfrac {1}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}} \left(     \begin{array}{c}       -b  \\       a     \end{array}   \right)

となる。よって「高さ」は

\overrightarrow {OB}\cdot\overrightarrow {e}=\dfrac {1}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}  \left(  \left(     \begin{array}{c}       c  \\       d       \end{array}   \right) \cdot      \left(     \begin{array}{c}       -b  \\       a       \end{array}   \right) \right)\

=\dfrac {1}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\left( ad-bc\right)

であるから、三角形の面積は

底辺×高さ÷2
=\sqrt {a^{2}+b^{2}}×\dfrac {1}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\left( ad-bc\right)× \dfrac {1}{2}
=\dfrac {1}{2}\left( ad-bc\right)

となる。この図の形ではこれでいいけど、この式に一般性を持たせれば、
\dfrac {1}{2}\left| ad-bc\right|

となる。

じゃあ、平面はこれでいいけど、
空間の場合はどうだろう??ad-bcみたいな簡単な式はあるかな?


っていう言い方をするとなんとなくわかると思うけど、無いんだね。あるけど簡単じゃない。

ということで、確実に求められる方法も書いておきます。

まず余弦定理より
\cos \theta =\dfrac {\overrightarrow {OA}\cdot\overrightarrow {OB}}{\left| \overrightarrow {OA}\right| \left| \overrightarrow {OB}\right| }
だから、
\sin \theta = \sqrt {1-\left( \dfrac {\overrightarrow {OA}\cdot\overrightarrow {OB}}{\left| \overrightarrow {OA}\right| \left| \overrightarrow {OB}\right| }\right) ^{2}}

よって、三角形の面積は、

底辺×高さ÷2
=\dfrac {1}{2}×\left| \overrightarrow {OA}\right| \left| \overrightarrow {OB}\right| \sqrt {1-\left( \dfrac {\overrightarrow {OA}\cdot\overrightarrow {OB}}{\left| \overrightarrow {OA}\right| \left| \overrightarrow {OB}\right| }\right) ^{2}}
=\dfrac {1}{2}\sqrt {\left| \overrightarrow {OA}\right| ^{2}\left| \overrightarrow {OB}\right| ^{2}-\left(\overrightarrow {OA}\cdot\overrightarrow {OB} \right) ^{2}}

となるんだね。


\dfrac {1}{2}\sqrt {\left| \overrightarrow {OA}\right| ^{2}\left| \overrightarrow {OB}\right| ^{2}-\left(\overrightarrow {OA}\cdot\overrightarrow {OB} \right) ^{2}}はだいぶキレイなカタチだから、覚えてたら楽だね!もちろんすぐ作れるけど!