東大生の高校数学ブログ

高校数学の公式を覚えずに得意になるためのブログです

覚えなくていい「球の表面積・体積」

世界地図って見たことあるよね?

たぶんこんな感じのやつが一番見慣れてると思う。


ただ、当たり前だけどこれは正しく表現できてるとはいえない。

これはメルカトル図法っていうので書かれてて、緯度とか経度のズレのキョリを、全部同じとしたときの図法。


分かりやすくいうと、赤道一周の長さと、北極あたりで同じ緯度一周するのが同じ長さって扱い。


地図の下の方を見れば分かるとおり、たしかに南極大陸が無限にデカい。。


ということで、「球を平面で表現する」っていうのはめちゃめちゃ難しいんだね。


じゃあサイズ感を変えずに、平面で球を表現する場合、どんな図法があるだろう?


地球儀をみてみよう。

実は、()みたいな形にn等分に切って(上の場合だと12等分)球に貼り付けて作られてるんだね。


で、こんな形で表現する図法を、「舟形多円錐図法」というんだ。覚える必要は全くないけど、知ってたらなんかいいね。




ところで、本題は「球の表面積・体積」
なんでこんな話をしたかったかというと、球の表面積はイメージするのが難しいからだね。

でも平面に書けちゃうんだったら、イメージできそう。

〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜

ということで、
まず半径1の球を、舟形多円錐図法でn等分することをかんがえよう!
一つの()はこんな形になるね。

()の中心からの距離と幅の関係が分からないが、これは一度地球儀に立ち返って考えてみよう。


覚えなくていい「円の面積」 - 算数は得意なのに数学が苦手なひとのためのブログも参考)

この図より、緯度が\theta 、つまり赤道からの距離が\theta のときには、幅は\dfrac {2\pi \cos \theta }{n}n等分されてるから)
となる。

したがって、

図より()ひとつ分の面積は、
(微小面積が\dfrac {2\pi \cos \theta }{n} d\theta であることから)
2\int ^{\dfrac {\pi }{2}}_{0}\dfrac {2\pi \cos \theta }{n}d\theta = \dfrac {4\pi }{n} [ \sin \theta ] ^{\dfrac {\pi }{2}}_{0} =\dfrac {4\pi }{n}

である。つまり、これがn枚あれば球の表面積全体となるから
半径1の球の表面積は
\dfrac {4\pi }{n}\cdot n=4\pi
となる。

で、表面積は半径の二乗r^{2}に比例するから、半径rのときの表面積は

4\pi r^{2}

といえる。

〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜


どうでした?少し複雑に見えるかもだけど「舟形多円錐図法」を利用しただけ。厳密にはベクトルとか使って証明するんだけど「感覚的にわかる」ことが目的だから省きます。


今回の計算でわかったのが、
実は、()の左右のカーブは、\sinカーブだったんだね。

だから下図の領域が、それを囲む長方形の\dfrac {2}{\pi }倍だってこと知ってれば

表面積は
(赤道の周)×(赤道から北極・南極までの距離の和)×\dfrac {2}{\pi }
=2r\pi ×\left( \dfrac {r\pi }{2}\cdot2\right)× \dfrac {2}{\pi }=4\pi r^{2}

と、底辺×高さ× \dfrac {2}{\pi }みたいなノリでできちゃうんだね。



「球の表面積が円の面積の4倍になる理由」について視覚的にわかりやすく解説したのが【面白数学】球の表面積=円の面積×4の理由 - 算数は得意なのに数学が苦手なひとのためのブログで、

「球の体積」については覚えなくていい「円の面積」 - 算数は得意なのに数学が苦手なひとのためのブログを見てみてください。