東大生の高校数学ブログ

高校数学の公式を覚えずに得意になるためのブログです

覚えた方がいい「多項式の表し方」

突然だけど、次の条件を満たす3次の多項式を求めてみよう。

f\left( 0\right) =0,f\left( 1\right) =0,f\left( 2\right) =0,f\left( -1\right) =6

f\left( 0\right) =2,f\left( 1\right) =2,f\left( 2\right) =2,f\left( 3\right) =8

f\left( 1\right) =1,f\left( 2\right) =2,f\left( 3\right) =3,f\left( 4\right) =5

f\left( 3\right) =1,f'\left( 3\right) =3,f''\left( 3\right) =4,f'''\left( 3\right) =6



頭ん中で瞬殺できたかな?それともさっぱりわからない?

ちなみにこれは多項式の基本中の基本。⑴しかわからない人は公式暗記してるだけかも。

ということで答え。



多項式=0の解がx=0,1,2となるから、この多項式

ax\left( x-1\right) \left( x-2\right)

とかける。また、f\left( -1\right) =6をこれに代入すれば、

-6a=6
\therefore a=-1

よって求める多項式
-x\left( x-1\right) \left( x-2\right)

となる。



これは⑴と全く同じだね。
多項式=2の解がx=0,1,2ということは、
多項式-2=0の解がx=0,1,2ということだから、多項式-2
ax\left( x-1\right) \left( x-2\right)
とかける。
つまり、多項式

ax\left( x-1\right) \left( x-2\right) +2

とかける。f\left( 3\right) =8を代入すれば
6a+2=8だから、
a=1
よって求める多項式は、

x\left( x-1\right) \left( x-2\right) +2

となる。



これも、基本的には⑴や⑵と変わらない。
条件より、
f\left( k\right) -k=0(k=1,2,3)
と分かるから、

f\left( x\right) -x=a\left( x-1\right) \left( x-2\right) \left( x-3\right)

とかける。これにf\left( 4\right) =5を代入して、
5-4=6a
\therefore a=\dfrac {1}{6}

よって、求める多項式

x+\dfrac {1}{6}\left( x-1\right) \left( x-2\right) \left( x-3\right)

となる。



これも大事。多進法みたいな話だけど、

f\left( x\right) \left( x-3\right) ^{3}で割った商をa
その余りを\left( x-3\right) ^{2}で割った商をb
その余りを\left( x-3\right) で割った商をc
その余りをdとすれば

f\left( x\right) =a\left( x-3\right) ^{3}+b\left( x-3\right) ^{2}+c\left( x-3\right) +d

とかける。これがめっちゃ大事で、めっちゃ便利。
なにが便利かっていうと、

f'\left( x\right) =3a\left( x-3\right) ^{2}+2b\left( x-3\right) +c
f''\left( x\right) =6a\left( x-3\right) +2b
f'''\left( x\right) =6a

となる。つまり

f\left( 3\right) =d,f'\left( 3\right) =c,f''\left( 3\right) =2b,f'''\left( 3\right) =6a

となるんだ。以上より

a=1,b=2,c=3,d=1

となるから、求める多項式

\left( x-3\right) ^{3}+2\left( x-3\right) ^{2}+3\left( x-3\right) +1

となる。

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こんな感じで、多項式の表し方ってax^{3}+bx^{2}+cx+dだけじゃないんだね。最後の⑷みたいなノリで、

a\left( x-1\right) \left( x-2\right) \left( x-3\right) +b(x-1)(x-2)+
c\left( x-1\right) +d

とも表せるんだね。だから、
f\left( 1\right) =2,f\left( 2\right) =3,f\left( 3\right) =4,f\left( 4\right) =2
のときは?と聞かれても

f\left( 1\right) =d=2,
f\left( 2\right) =c+d=3,
f\left( 3\right) =2b+2c+d=4,
f\left( 4\right) =6a+6b+3c+d=2

だから、簡単に
d=2,c=1,b=0,a=-\dfrac {1}{2}
とわかっちゃう。

こういう書き方知ってれば、多項式の計算めんどくせーとはならなそう。基本的にいわれている「式はきれいな形で求めなさい」とかいうのは、
「利用しやすい形にしなさい」ってこと。

だから、ax^{3}+bx^{2}+cx+dの形にわざわざ展開する必要もないんだね。