東大生の高校数学ブログ

高校数学の公式を覚えずに得意になるためのブログです

覚えなくていい「数列の一般項」３

覚えなくていい「数列の一般項」２ - 算数は得意なのに数学が苦手なひとのためのブログのつづき。

前回の最後に

$a_{1}=1$
$a_{n+1}=2a_{n}+3^{n}+n$ ・・・①

をどうやって解くか？みたいな問題あったけど。

実はこれも「掛け続ける」パターン、つまり特性方程式を組み合わせれば解けるっていうオモロい問題。

前回もいったように、
$d_{n+1}=2d_{n}+3^{n}+n$
を満たす数列 $\left\{ d_{n}\right\}$ がひとつ見つかってしまえば、①が解けてしまう。

・・・でも難しい。。ということでとりあえず、
$b_{n+1}=2b_{n}+3^{n}$ ・・・②
を満たす数列 $\left\{ b_{n}\right\}$ と、

$c_{n+1}=2c_{n}+n$ ・・・③
を満たす数列 $\left\{ c_{n}\right\}$

を見つけることにしよう。

というか、とりあえず見つけたことにしよう！

そしたら② $+$ ③より

$b_{n+1}+c_{n+1}=2\left( b_{n}+c_{n}\right) +3^{n}+n$
となる。
ここで
$d_{n}=\left( b_{n}+c_{n}\right)$ と置いてみれば、

$d_{n+1}=2d_{n}+3^{n}+n$ ・・・④

となる！！！すごい！！

あ、あたりまえかな？？

つまり、 $\left\{ b_{n}\right\}$ と $\left\{ c_{n}\right\}$ が見つかった時点で、この漸化式は解けてしまうんだ。

じゃあ実際に $\left\{ b_{n}\right\}$ と $\left\{ c_{n}\right\}$ を求めよう！ってなるけど

$\left\{ c_{n}\right\}$ は前回求めたね。
$c_{n}=-n-1$
だね。

つぎに $\left\{ b_{n}\right\}$ だけど、これは

$b_{n}=a\cdot 3^{n}$ として予想してみよう。これを②に代入すると、

$a\cdot 3^{n+1}=2a\cdot 3^{n}+3^{n}$
$\therefore a=1$

となるから、 $b_{n}=3^{n}$ といえる。

以上より、

$d_{n}=3^{n}-n-1$ だから、① $-$ ④より、

$a_{n+1}-d_{n+1}=2\left( a_{n}-d_{n}\right)$
$a_{n}-d_{n}=2^{n-1}\left( a_{1}-d_{1}\right) =0$
$\therefore a_{n}=d_{n}=3^{n}-n-1$

となる。以上より数列 $\left\{ a_{n}\right\}$ の一般項は

$3^{n}-n-1$

である。

という感じ。これは便利だしたのしいねえ。