東大生の高校数学ブログ

高校数学の公式を覚えずに得意になるためのブログです

覚えなくていい「解と係数の関係」

二次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ についての解と係数の関係は、ご存知の通り、

$\alpha +\beta =-\dfrac {b}{a}$
$\alpha \beta =\dfrac {c}{a}$

というもの。もちろん $\alpha, \beta$ ってのは二つの解を表してる。

じゃあ三次方程式の解と係数の関係は？と聞かれると、記憶に自信がないか、そもそも知らない人もいるかもしれない。

二次方程式は知ってるのに三次方程式は知らないっていうのはもったないないから、とりあえずまず二次方程式の方はつくれるようにしよう！

ということで証明。

解が $\alpha, \beta$ の二次方程式は

$a\left( x-\alpha \right) \left( x-\beta \right) =0$

とかけるから、これを展開すれば
$ax^{2}-a\left( \alpha +\beta \right) x+a\alpha \beta=0$ となるから、元の方程式とくらべれば

$b=-a\left( \alpha +\beta \right)$
$c=a\alpha \beta$

とわかる。あとは両辺から $a$ を割ってあげれば終了。

めちゃめちゃ簡単だね。ということで次は三次方程式。

三次方程式 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ を考えて、三つの解が $\alpha ,\beta ,\gamma$ だとする。

さっきと同じようにして、
$a\left( x-\alpha \right) \left( x-\beta \right) \left( x-\gamma \right)=0$
$\Leftrightarrow ax^{3}-a\left( \alpha +\beta +\gamma \right) x^{2}+a\left( \alpha \beta +\beta r+\gamma \alpha \right)x$
$-a\alpha\beta\gamma=0$

元の方程式と比べれば、

$b=-a\left( \alpha +\beta +\gamma \right)$
$c=a\left( \alpha \beta +\beta r+\gamma \alpha \right)$
$d=-a\alpha\beta\gamma$

が得られるので、両辺を $a$ で割って整理すれば、

$\alpha +\beta +\gamma =-\dfrac {b}{a}$
$\alpha \beta +\beta r+\gamma \alpha =\dfrac {c}{a}$
$\alpha\beta\gamma=-\dfrac {c}{a}$

となって、三次方程式の解と係数の関係が得られる！

もちろん、こいつらは覚えられるんなら覚えてるに越したことはないんだけど、自分で作った経験のあるひとなら

あれ、マイナスだっけ？プラスだっけ？

みたいなことにならなくて済むよね。

四次でも頑張ればつくれるし、覚えてなくなってじぶんはいつでもつくれるんだぞ〜〜という余裕が大事！