覚えなくていい「点と直線のキョリ」 - 東大生の高校数学ブログ

点と直線のキョリは

$\dfrac {\left| ax_{1}+by_{1}+c\right| }{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

みたいに教わると思うけど・・

覚えづらい！

ということで、忘れてもいいように一瞬で作ろう！使うのは覚えなくていい「直線の方程式」 - 算数は得意なのに数学が苦手なひとのためのブログを知ってれば特にこれといったものはないです。

まず、

$ax+by+c=0$ の法線ベクトルは $\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right)$ だから、

図のとおり、
$\left( \begin{array}{c} x_{1} \\ y_{1} \end{array} \right)+ k\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right)$ つまり

点 $\left( x_{1}+ka,y+kb\right)$ が、直線 $ax+by+c=0$ 上にあればいい。

ということは

$a\left( x_{1}+ka\right) +b\left( y+kb\right) +c=0$
$\therefore k=-\dfrac {ax_{1}+by_{1}+c }{a^{2}+b^{2}}$

いま知りたい、点と直線のキョリは $k \left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right)$ の大きさ、

つまり $\left| k \right|× \left| \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right|$ だから

$\dfrac {\left| ax_{1}+by_{1}+c\right| }{a^{2}+b^{2}} ×\sqrt {a^{2}+b^{2}}$

$=\dfrac {\left| ax_{1}+by_{1}+c\right| }{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

で終わり。

ここまで慣れれば20秒！だからすぐつくれるね！