東大生の高校数学ブログ

高校数学の公式を覚えずに得意になるためのブログです

覚えなくていい「直線の方程式」

覚えなくていい「ベクトル」2（内積） - 算数は得意なのに数学が苦手なひとのためのブログ
続きですよ！

直線の方程式っていうと

最初 $y=ax+b$

って習うのに

なぜか途中で

$ax+by+c=0$

っていう式を習う。。最初習ったときは、

$a$ は傾き
$b$ はy切片

て習ったのに、なんでまた新しいの覚えなきゃいけないんだろう・・ってなるひともいるはず。

まずこれを習う理由は２つあって

１つは、直線の一般式って言われてるはずなのに

$x=0$ みたいな $y$ 軸と平行な直線は傾きが存在しないから表せないんだね

もう１つは、

「 $y$ 切片ってそんなに大事な情報か？？」

てこと。

日常生活してても、

「家から、東に徒歩3分」

ってことは言っても、 $y$ 的なこと考える機会って $xy$ 平面を考える数学の問題でしかない

これに似た話を覚えなくていい「ベクトル」2（内積） - 算数は得意なのに数学が苦手なひとのためのブログでしたと思うんだけど、

ということは

$ax+by+c=0$ はベクトルの話とつながってるはずだ！

教科書では $ax+by+c=0$ で習うけど、本当の一般形は

「 $a\left( x-x_{1}\right) +b\left( y-y_{1}\right) =0$ 」

ただ $c=-\left( ax_{1}+by_{1}\right)$ ってなっただけ

これを当たり前に思うのも簡単で、

方向ベクトル $\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right)$ と、直線 $l$ （直線上のベクトル全て）は垂直だから、

直線 $l$ 上の点 $(x, y)$ は常に

$\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) \cdot \left( \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)-\left( \begin{array}{c} x_{1} \\ y_{1} \end{array} \right) \right)=0 \$

$\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} x-x_{1} \\ y-y_{1} \end{array} \right)=0 \$

が成り立つ。つまりこれが直線の式そのもの！

この式の形にすれば、

$\left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right)$ が直線の法線ベクトル（直線に垂直なベクトル）
で、この直線は $\left( x_{1},y_{1}\right)$ を通る。

ってだけのこと！

だから
「傾き $2$ で $\left( 2,3\right)$ を通る直線」って言われたら一瞬で

$y-3=2\left( x-2\right)$

って答えればいいし、

「法線ベクトルが $\left( \begin{array}{c} 3 \\ -1 \end{array} \right)$ で、 $\left( 4,1\right)$ を通る直線」って言われたら

$3\left( x-4\right) -\left( y-1\right) =0$

って即答すればいい。形はこのままの形が一番分かりやすいんだから、別にここから変形して答える必要もない。

平面の方程式もまったく同じだから次かきますね