東大生の高校数学ブログ

高校数学の公式を覚えずに得意になるためのブログです

覚えなくていい「三角関数の合成」

覚えなくていい「ベクトル」2(内積) - 算数は得意なのに数学が苦手なひとのためのブログ
の続きですよ!

三角関数の合成って、たぶん高校では\sinで合成するようにならってるはずだけど

世界でみても、割とマイナーらしい。


たしかに教科書に載ってる「使い方」の説明もあんまし腑に落ちないし、、


ということで。



せっかくなら\cosで合成しよう!



やり方は簡単。



\cos \theta +\sin \theta =    \left(     \begin{array}{c}       1  \\       1       \end{array}   \right) \cdot      \left(     \begin{array}{c}       \cos \theta  \\       \sin \theta      \end{array}   \right) \

 =    \left|     \begin{array}{c}       1  \\       1       \end{array}   \right| \cdot      \left|     \begin{array}{c}       \cos \theta  \\       \sin \theta      \end{array}   \right| \cos \left( \theta -\dfrac {\pi }{4}\right) \

=\sqrt {2}\cos \left( \theta -\dfrac {\pi }{4}\right) (下図参照)

簡単ですね。

他に例をあげてみると

\sqrt {3}\cos \theta +\sin \theta =    \left(     \begin{array}{c}       \sqrt {3}  \\       1       \end{array}   \right) \cdot      \left(     \begin{array}{c}       \cos \theta  \\       \sin \theta      \end{array}   \right) \

 =    \left|     \begin{array}{c}       \sqrt {3}  \\       1       \end{array}   \right| \cdot      \left|     \begin{array}{c}       \cos \theta  \\       \sin \theta      \end{array}   \right| \cos \left( \theta -\dfrac {\pi }{6}\right) \

=2\cos \left( \theta -\dfrac {\pi }{6}\right)


こんな感じ?わかりますか?