覚えなくていい「加法定理」 - 東大生の高校数学ブログ

たぶん、学校で加法定理ならったとき多くの先生が「とりあえず覚えろ」っていって

$\cos \left( \alpha +\beta \right) =\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$
$\sin \left( \alpha +\beta \right) =\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

これが当たり前に見えるわけもなく、クラスの怖いI井くんは「ころすころすしねしね..」ってぶつぶついいながら語呂合わせでおぼえてたくらい

ただこれも、「ベクトル＝道順」って知っていればそんな難しいもんじゃない

この四分円を、半径 $1$ の円だと思えば、

$\overrightarrow {OA}= \left( \begin{array}{c} \cos \alpha \\ \sin \alpha \end{array} \right)$
$\overrightarrow {OB}= \left( \begin{array}{c} \cos \left( \alpha +\beta \right) \\ \sin \left( \alpha +\beta \right) \end{array} \right)$

だから、

$\overrightarrow {OB}=\overrightarrow {OH}+\overrightarrow {HB}$

より、 $\overrightarrow {OH}$ と $\overrightarrow {HB}$ が分かれば、なんか加法定理がつくれそうな気がする。

$\overrightarrow {OH}$ は、
方向ベクトルが $\left( \begin{array}{c} \cos \alpha \\ \sin \alpha \end{array} \right)$ で、長さが $\cos \beta$

だから、

$\overrightarrow {OH}=cos \beta \left( \begin{array}{c} \cos \alpha \\ \sin \alpha \end{array} \right)$

$\overrightarrow {HB}$ は、
方向ベクトルが、 $\overrightarrow {OA}$ の左回り $90^{o}$ 回転だから $\left( \begin{array}{c} -sin \alpha \\ \cos \alpha \end{array} \right)$ で、長さが $\sin \beta$

だから、

$\overrightarrow {HB}=\sin \beta \left( \begin{array}{c} -sin \alpha \\ \cos \alpha \end{array} \right)$

以上から、

$\left( \begin{array}{c} \cos \left( \alpha +\beta \right) \\ \sin \left( \alpha +\beta \right) \end{array} \right)=cos \beta \left( \begin{array}{c} \cos \alpha \\ \sin \alpha \end{array} \right)+\sin \beta \left( \begin{array}{c} -sin \alpha \\ \cos \alpha \end{array} \right)$

だから覚えるにしても、この形で覚えたほうが意味もわかってよさそうじゃない？