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東大生の高校数学ブログ

高校数学の公式を覚えずに得意になるためのブログです

覚えなくていい「微分・微小量」

微分ってなに?」

って聞かれたらなんて答えますか?

高校生にきくと、

「エフダッシュ?」

みたいに言われて コミュニケーション!!!
ってなることがある。


ビブンを習う直前くらいのひとに、「それなに?」って聞かれて、なんて言ったら「すごいそんなことできるのか!」って思ってもらえるか考えたほうがいい。

そこまでできなくても、少なくとも一言で何なのか説明できないとダメ。


すごく簡単にいえば、「近くでみること」。
グラフとかでいえば、「傾きを求めること」だね。どんな曲線でも傾きがわかっちゃう。

なにがすごいかっていうと、どんなわかりにくい曲線も近くで見れば直線にみえる

直線を考えるのは簡単だから、小さい部分をよく調べることで全体像がわかる

ビブンしてグラフの形知るのはもちろん、たとえば隕石の軌道とか調べるのも同じこと。


ということで、関数f(x)で考えてみよう!

たぶんつまづく人少ないから省略してかくけど、

y=f\left( x\right) xでの傾きが知りたかったら上図みたいに\Delta xだけ離れたとこ結んで、傾きを計算してやればいい。

だからこのときの傾きは
\dfrac {f\left( x+\Delta x \right) -f\left( x\right) }{\Delta x}

だね。でもこれで終わりじゃなくて、最後に\Delta x\rightarrow 0としてあげなきゃいけない。

てことでx座標がxのときの傾きは

\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {f\left( x+ \Delta x \right) -f\left( x\right) }{\Delta x}

となるんだね。


ちなみここからめちゃくちゃ大事なことだけど

\Delta xdx

の違いってわかる??かな?

微分の記号ってたぶん

\dfrac {d}{dx}f\left( x\right)

みたいに習ってるよね?


じつは、dx\Delta x
\Delta x \rightarrow 0
としたものなんだね。

つまり、

\dfrac {df\left( x\right)}{dx}= \lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {f\left( x+ \Delta x \right) -f\left( x\right) }{\Delta x}


てことは
f\left( x\right)の微小量は
f\left( x+ dx \right) -f\left( x\right)=\left( \dfrac {d}{dx}f\left( x\right)\right) dx・・・①

となることがわかる。


じゃあ、

d\left( f\left( x,y\right)\right)

はどうなるだろう?

これも、①を使えば
d\left( f\left( x,y\right)\right)
=f\left( x+dx,y+dy\right)-f\left( x,y\right)
=f\left( x+dx,y+dy\right)-f\left( x,y+dy\right)+f\left( x,y+dy\right)-f\left( x,y\right)
=\left(\dfrac {d}{dx}f\left( x,y+dy\right) \right) dx+\left(\dfrac {d}{dy}f\left( x,y\right) \right) dy
=\left( \dfrac {d}{dx}f\left( x,y\right)\right) dx+\left( \dfrac {d}{dy}f\left( x,y\right)\right) dy


となる。つまり、\left( x,y\right) の関数の微小量を求めたかったら、
x微分したらdxをかけて、y微分したらdyをかけて、足してあげればいいんだね


ということで。

問題 x^{2}+xy+y^{2}=1のとき、\dfrac {dy}{dx}を求めよ。

d\left( x^{2}+xy+y^{2}-1\right)=0
\Leftrightarrow 2xdx+\left( ydx+xdy\right) +2ydy=0
\Leftrightarrow \left( 2x+y\right)dx=-\left( x+2y\right)  dy
\therefore \dfrac {dy}{dx}=-\dfrac{2x+y}{x+2y}
となる。

だからたとえば\left( \dfrac {1}{\sqrt {3}},\dfrac {1}{\sqrt {3}}\right) における接線の傾きは?と聞かれたら
-\dfrac {\sqrt {3}}{\sqrt {3}}=-1
となる。


みたいな!べんりだから使えそうだね!

【面白数学】(1/2)!ってどうなるか知ってる?

! って記号は数学だと階乗って意味だけど。

たとえば5!だったら

5!=5×4×3×2×1=120

だね。じゃあ0!はどうだろう?

0!=0×...?=0???

ってなるかな?実は

4!=5!÷5
3!=4!÷4
2!=3!÷3
1!=2!÷2
0!=1!÷1=1・・・①

ってな感じの規則性で0!1になるんだね。

じゃあ、\left( \dfrac {1}{2}\right)! はどうなるんだろう?





実をいうとこれ、\dfrac {\sqrt {\pi }}{2}ってなるらしい。なぜだ。。。

ということでこれの話。


まず、

a_{m,n}=\int ^{1}_{0}x^{m}\left( 1-x\right) ^{n}dx・・・*

なんていう、不自然極まりない数列があったとする。

で、こういう式を見たとき、ある程度セキブンを勉強したひとなら部分積分するはず。ということでやってみよう!

a_{m,n}=\int ^{1}_{0}\left( \dfrac {1}{m+1}x^{m+1}\right)' \left( 1-x\right) ^{n}dx
=\dfrac {1}{m+1} [ x^{m+1}\left( 1-x\right) ^{n} ]^{1}_{0}
-\dfrac {-n}{m+1}\int ^{1}_{0}x^{m+1}\left( 1-x\right) ^{n-1}dx
=\dfrac {n}{m+1}a_{m+1,n-1}

となるから、

a_{m,n}=\dfrac {n}{m+1}a_{m+1,n-1}
=\dfrac {n}{m+1}\cdot\dfrac {n-1}{m+2}a_{m+2,n-2}
=\dfrac {n}{m+1}\cdot\dfrac {n-1}{m+2}\ldots \dfrac {1}{m+n}a_{m+n,0}
=\dfrac {m!n !}{\left( m+n\right) !}\int ^{1}_{0}x^{m+n}dx
=\dfrac {1}{m+n+1}\cdot\dfrac {m!n!}{\left( m+n\right) !}

となる!ここで、なにを思ったかm=n=\dfrac {1}{2}を代入してみると、

a_{\dfrac {1}{2},\dfrac {1}{2}}=\dfrac {1}{2}\dfrac {\left( \dfrac {1}{2}\right) !\left( \dfrac {1}{2}\right) !}{1!}=\dfrac {1}{2}\left\{ \left( \dfrac {1}{2}\right) !\right\} ^{2}・・・②

となる。ここで、*より

a_{\dfrac {1}{2},\dfrac {1}{2}}=\int ^{1}_{0}x\sqrt {1-x}dx

となるけど、よく見てみるとこれは、

中心\left( \dfrac {1}{2},0\right) 、半径\dfrac {1}{2}半円の面積!

つまり\dfrac {\pi }{8}なんだね。


よって、②より、

\dfrac {\pi }{8}=\dfrac {1}{2}\left\{ \left( \dfrac {1}{2}\right) !\right\} ^{2}

\therefore \left( \dfrac {1}{2}\right) !=\dfrac {\sqrt {\pi }}{2}

となった!!なんだかよくわかんないけどこんなことになってしまうんだね。


①の規則性つかっちゃえば、

\left( -\dfrac {1}{2}\right) !=\left( \dfrac {1}{2}\right) !÷\dfrac {1}{2}=\sqrt {\pi }

\left( \dfrac {1}{2}\right) !=\left( \dfrac {3}{2}\right) !÷\dfrac {3}{2}
\therefore \left( \dfrac {3}{2}\right) !=\dfrac {3\sqrt {\pi }}{8}

みたいな感じで、\left( \dfrac {奇数}{2}\right) !の値も全部求まっちゃうんだね。


なんか不思議・・・。


じゃあ一般的な実数xに対してx !はどうなるんだよってなるけど。

 x !=\int ^{\infty }_{0}t^{x}e^{-t}dt

で定義されてるらしい。

なんじゃこりゃって感じだからあんまし参考になんないけど、高校数学の範囲で\left( \dfrac {1}{2}\right) !がわかるっていうのはなんか不思議だなあ。

【面白数学】球の表面積=円の面積×4の理由

覚えなくていい「円の面積」 - 算数は得意なのに数学が苦手なひとのためのブログで、
円の面積=円周×半径×\dfrac {1}{2}

覚えなくていい「球の表面積・体積」 - 算数は得意なのに数学が苦手なひとのためのブログで、
球の表面積=円周×極間の距離×\dfrac {2}{\pi }


ってことをやった。どちらも

底辺×高さ×定数

の形だね。これを用いて、「球の表面積=円の面積×4」の説明をしてみよう。

まず、考えやすいように次のようなプラネタリウム型の図形を考えてみよう。

いま示せばいいのは、「半球の表面積=円の面積×2」です。

さっきも書いたように、円周を底辺としたとき、「円は三角形、球の表面はsin形」と考えられるから、こんな図になる。

こうやって比較してみると、

円の面積:球の表面積
=1×\dfrac {1}{2}:\dfrac {\pi }{2}\times \dfrac {2}{\pi }
=\dfrac {1}{2}:1

とわかるから、球の表面積は円の面積の2倍になるんだね。

こんな感じで目で大きさを比べられると分かりやすいね。

覚えなくていい「三角形の面積」

小学5,6年生に算数、高1,3年に数学おしえてて思うけど。

できるひとかできないひとかって「三角形の面積ってどうやって求めるんだっけ?」って聞いてみるとだいたい分かるような気がする。

で、これが意外と答えが返ってこない。なぜだろう。


もちろん「底辺×高さ÷2ってだけだね。

たぶんこれ以外の方法で三角形の面積求めることってないよね。

いや他にもあるぞ!ad-bcとか!って言ってるひとは、たぶんad-bcが当たり前に見えてないひと。


ということで、高校数学でよく使う「ベクトルを用いた三角形の面積」について。

上の三角形において、
\overrightarrow {OA}=   \left(     \begin{array}{c}       a  \\       b      \end{array}   \right)
\overrightarrow {OB}=   \left(     \begin{array}{c}       c  \\       d      \end{array}   \right)
とおく。すると、\overrightarrow {OA}に垂直な単位ベクトル\overrightarrow {e}

\overrightarrow {e}=  \dfrac {1}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}} \left(     \begin{array}{c}       -b  \\       a     \end{array}   \right)

となる。よって「高さ」は

\overrightarrow {OB}\cdot\overrightarrow {e}=\dfrac {1}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}  \left(  \left(     \begin{array}{c}       c  \\       d       \end{array}   \right) \cdot      \left(     \begin{array}{c}       -b  \\       a       \end{array}   \right) \right)\

=\dfrac {1}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\left( ad-bc\right)

であるから、三角形の面積は

底辺×高さ÷2
=\sqrt {a^{2}+b^{2}}×\dfrac {1}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\left( ad-bc\right)× \dfrac {1}{2}
=\dfrac {1}{2}\left( ad-bc\right)

となる。この図の形ではこれでいいけど、この式に一般性を持たせれば、
\dfrac {1}{2}\left| ad-bc\right|

となる。

じゃあ、平面はこれでいいけど、
空間の場合はどうだろう??ad-bcみたいな簡単な式はあるかな?


っていう言い方をするとなんとなくわかると思うけど、無いんだね。あるけど簡単じゃない。

ということで、確実に求められる方法も書いておきます。

まず余弦定理より
\cos \theta =\dfrac {\overrightarrow {OA}\cdot\overrightarrow {OB}}{\left| \overrightarrow {OA}\right| \left| \overrightarrow {OB}\right| }
だから、
\sin \theta = \sqrt {1-\left( \dfrac {\overrightarrow {OA}\cdot\overrightarrow {OB}}{\left| \overrightarrow {OA}\right| \left| \overrightarrow {OB}\right| }\right) ^{2}}

よって、三角形の面積は、

底辺×高さ÷2
=\dfrac {1}{2}×\left| \overrightarrow {OA}\right| \left| \overrightarrow {OB}\right| \sqrt {1-\left( \dfrac {\overrightarrow {OA}\cdot\overrightarrow {OB}}{\left| \overrightarrow {OA}\right| \left| \overrightarrow {OB}\right| }\right) ^{2}}
=\dfrac {1}{2}\sqrt {\left| \overrightarrow {OA}\right| ^{2}\left| \overrightarrow {OB}\right| ^{2}-\left(\overrightarrow {OA}\cdot\overrightarrow {OB} \right) ^{2}}

となるんだね。


\dfrac {1}{2}\sqrt {\left| \overrightarrow {OA}\right| ^{2}\left| \overrightarrow {OB}\right| ^{2}-\left(\overrightarrow {OA}\cdot\overrightarrow {OB} \right) ^{2}}はだいぶキレイなカタチだから、覚えてたら楽だね!もちろんすぐ作れるけど!

覚えなくていい「球の表面積・体積」

世界地図って見たことあるよね?

たぶんこんな感じのやつが一番見慣れてると思う。


ただ、当たり前だけどこれは正しく表現できてるとはいえない。

これはメルカトル図法っていうので書かれてて、緯度とか経度のズレのキョリを、全部同じとしたときの図法。


分かりやすくいうと、赤道一周の長さと、北極あたりで同じ緯度一周するのが同じ長さって扱い。


地図の下の方を見れば分かるとおり、たしかに南極大陸が無限にデカい。。


ということで、「球を平面で表現する」っていうのはめちゃめちゃ難しいんだね。


じゃあサイズ感を変えずに、平面で球を表現する場合、どんな図法があるだろう?


地球儀をみてみよう。

実は、()みたいな形にn等分に切って(上の場合だと12等分)球に貼り付けて作られてるんだね。


で、こんな形で表現する図法を、「舟形多円錐図法」というんだ。覚える必要は全くないけど、知ってたらなんかいいね。




ところで、本題は「球の表面積・体積」
なんでこんな話をしたかったかというと、球の表面積はイメージするのが難しいからだね。

でも平面に書けちゃうんだったら、イメージできそう。

〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜

ということで、
まず半径1の球を、舟形多円錐図法でn等分することをかんがえよう!
一つの()はこんな形になるね。

()の中心からの距離と幅の関係が分からないが、これは一度地球儀に立ち返って考えてみよう。


覚えなくていい「円の面積」 - 算数は得意なのに数学が苦手なひとのためのブログも参考)

この図より、緯度が\theta 、つまり赤道からの距離が\theta のときには、幅は\dfrac {2\pi \cos \theta }{n}n等分されてるから)
となる。

したがって、

図より()ひとつ分の面積は、
(微小面積が\dfrac {2\pi \cos \theta }{n} d\theta であることから)
2\int ^{\dfrac {\pi }{2}}_{0}\dfrac {2\pi \cos \theta }{n}d\theta = \dfrac {4\pi }{n} [ \sin \theta ] ^{\dfrac {\pi }{2}}_{0} =\dfrac {4\pi }{n}

である。つまり、これがn枚あれば球の表面積全体となるから
半径1の球の表面積は
\dfrac {4\pi }{n}\cdot n=4\pi
となる。

で、表面積は半径の二乗r^{2}に比例するから、半径rのときの表面積は

4\pi r^{2}

といえる。

〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜


どうでした?少し複雑に見えるかもだけど「舟形多円錐図法」を利用しただけ。厳密にはベクトルとか使って証明するんだけど「感覚的にわかる」ことが目的だから省きます。


今回の計算でわかったのが、
実は、()の左右のカーブは、\sinカーブだったんだね。

だから下図の領域が、それを囲む長方形の\dfrac {2}{\pi }倍だってこと知ってれば

表面積は
(赤道の周)×(赤道から北極・南極までの距離の和)×\dfrac {2}{\pi }
=2r\pi ×\left( \dfrac {r\pi }{2}\cdot2\right)× \dfrac {2}{\pi }=4\pi r^{2}

と、底辺×高さ× \dfrac {2}{\pi }みたいなノリでできちゃうんだね。



「球の表面積が円の面積の4倍になる理由」について視覚的にわかりやすく解説したのが【面白数学】球の表面積=円の面積×4の理由 - 算数は得意なのに数学が苦手なひとのためのブログで、

「球の体積」については覚えなくていい「円の面積」 - 算数は得意なのに数学が苦手なひとのためのブログを見てみてください。

覚えなくていい「円の面積」

「覚えなくていい」とか言われながらも、

小学生で習ったわ!とっくに知ってるわ!

となると思う。
ただ、高校数学はすこしワケがちがう。

なぜなら、ラジアン(rad)という角度の単位が登場するからだ


ラジアンってものが導入されてめちゃめちゃ考えるのが楽になるのに、それに気づかないと\pi =180^{o}を使って毎回変換しなおしたりしがち。。


〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜

ということでラジアンを使うとどんだけ楽か、ということを書いていこう!

なにか新しい言葉や記号を覚えたら、「それを一言で特徴づけて説明する」という習慣をつけると、キャッチーなフレーズとか考える力にも繋がるから良いぞ。


「一言で」とかいいながら今回は図を書いちゃうけど

そもそもラジアンの定義は
「半径1の円弧の長さが\theta となるときの中心角を\theta [rad]とする」

ってことなんだね。つまり

「円弧の長さ=半径r×\theta

なんだね。めちゃ簡単。たとえば、

このときの円弧の長さは、
4\times \dfrac {\pi }{3}=\dfrac {4}{3}\pi
て感じで瞬殺できる。

40度くらいの熱があっても、8\pi × \dfrac {60°}{360°}なんて愚行はしないように。



で、ここからが本題。

この扇形の面積は、どうやって求めるか。

さっきもいったように、これをr^{2}\pi \times \dfrac {\theta }{2\pi }で求めるのはラジアンの有り難みがないねえ。

実は、この扇形の面積は、

弧の長さ×高さ÷2
=r\theta × r×\dfrac {1}{2}

で出せちゃうんだ。三角形みたいだね。

なぜ?と思うかもしれないけど、この扇形をもっと細い扇形になるように100等分くらいに切ったらその細い扇形は全部ほぼ三角形だよね?

それらを足し合わせてるから結局三角形と同じように面積計算できちゃうんだね。

厳密な話ではないけど、感覚でわかるのがまず大事だから、いいよね?


実をいうとこの考え方は球になっても使えて、

球の体積=球の表面積×半径÷3=4\pi r^{2}×r×\dfrac {1}{3}
=\dfrac {4}{3}\pi r^{3}

で求めっちゃうんだ!それは三角錐の時と同じで、
体積=底面積×高さ÷3のカタチだね。

覚えた方がいい「多項式の表し方」

突然だけど、次の条件を満たす3次の多項式を求めてみよう。

f\left( 0\right) =0,f\left( 1\right) =0,f\left( 2\right) =0,f\left( -1\right) =6

f\left( 0\right) =2,f\left( 1\right) =2,f\left( 2\right) =2,f\left( 3\right) =8

f\left( 1\right) =1,f\left( 2\right) =2,f\left( 3\right) =3,f\left( 4\right) =5

f\left( 3\right) =1,f'\left( 3\right) =3,f''\left( 3\right) =4,f'''\left( 3\right) =6



頭ん中で瞬殺できたかな?それともさっぱりわからない?

ちなみにこれは多項式の基本中の基本。⑴しかわからない人は公式暗記してるだけかも。

ということで答え。



多項式=0の解がx=0,1,2となるから、この多項式

ax\left( x-1\right) \left( x-2\right)

とかける。また、f\left( -1\right) =6をこれに代入すれば、

-6a=6
\therefore a=-1

よって求める多項式
-x\left( x-1\right) \left( x-2\right)

となる。



これは⑴と全く同じだね。
多項式=2の解がx=0,1,2ということは、
多項式-2=0の解がx=0,1,2ということだから、多項式-2
ax\left( x-1\right) \left( x-2\right)
とかける。
つまり、多項式

ax\left( x-1\right) \left( x-2\right) +2

とかける。f\left( 3\right) =8を代入すれば
6a+2=8だから、
a=1
よって求める多項式は、

x\left( x-1\right) \left( x-2\right) +2

となる。



これも、基本的には⑴や⑵と変わらない。
条件より、
f\left( k\right) -k=0(k=1,2,3)
と分かるから、

f\left( x\right) -x=a\left( x-1\right) \left( x-2\right) \left( x-3\right)

とかける。これにf\left( 4\right) =5を代入して、
5-4=6a
\therefore a=\dfrac {1}{6}

よって、求める多項式

x+\dfrac {1}{6}\left( x-1\right) \left( x-2\right) \left( x-3\right)

となる。



これも大事。多進法みたいな話だけど、

f\left( x\right) \left( x-3\right) ^{3}で割った商をa
その余りを\left( x-3\right) ^{2}で割った商をb
その余りを\left( x-3\right) で割った商をc
その余りをdとすれば

f\left( x\right) =a\left( x-3\right) ^{3}+b\left( x-3\right) ^{2}+c\left( x-3\right) +d

とかける。これがめっちゃ大事で、めっちゃ便利。
なにが便利かっていうと、

f'\left( x\right) =3a\left( x-3\right) ^{2}+2b\left( x-3\right) +c
f''\left( x\right) =6a\left( x-3\right) +2b
f'''\left( x\right) =6a

となる。つまり

f\left( 3\right) =d,f'\left( 3\right) =c,f''\left( 3\right) =2b,f'''\left( 3\right) =6a

となるんだ。以上より

a=1,b=2,c=3,d=1

となるから、求める多項式

\left( x-3\right) ^{3}+2\left( x-3\right) ^{2}+3\left( x-3\right) +1

となる。

〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜

こんな感じで、多項式の表し方ってax^{3}+bx^{2}+cx+dだけじゃないんだね。最後の⑷みたいなノリで、

a\left( x-1\right) \left( x-2\right) \left( x-3\right) +b(x-1)(x-2)+
c\left( x-1\right) +d

とも表せるんだね。だから、
f\left( 1\right) =2,f\left( 2\right) =3,f\left( 3\right) =4,f\left( 4\right) =2
のときは?と聞かれても

f\left( 1\right) =d=2,
f\left( 2\right) =c+d=3,
f\left( 3\right) =2b+2c+d=4,
f\left( 4\right) =6a+6b+3c+d=2

だから、簡単に
d=2,c=1,b=0,a=-\dfrac {1}{2}
とわかっちゃう。

こういう書き方知ってれば、多項式の計算めんどくせーとはならなそう。基本的にいわれている「式はきれいな形で求めなさい」とかいうのは、
「利用しやすい形にしなさい」ってこと。

だから、ax^{3}+bx^{2}+cx+dの形にわざわざ展開する必要もないんだね。